kaoyan3basic 高等数学 第31题
📝 题目
### 第31题 31 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 $$ I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(a)$ **解析**：步骤1：$\displaystyle I=\lim_{h\to0}\frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)-hf^{\prime}(a)}{h^{2}}$。 步骤2：由泰勒公式$\displaystyle f(a+h)=f(a)+hf^{\prime}(a)+\frac{1}{2}h^{2}f^{\prime\prime}(a)+o(h^{2})$，代入得分子$\displaystyle =\frac{1}{2}h^{2}f^{\prime\prime}(a)+o(h^{2})$，故$\displaystyle I=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(a)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将极限表达式变形为可用泰勒公式的形式
将分子通分，得到 I = lim_{h→0} [f(a+h) - f(a) - h f'(a)] / h^2
公式：I = lim_{h→0} [f(a+h) - f(a) - h f'(a)] / h^2
提示：注意极限的分子是差商减去导数，通分后得到二阶差商形式。
步骤 2/3
目标：应用泰勒公式展开 f(a+h)
由泰勒公式，f(a+h) = f(a) + h f'(a) + (1/2) h^2 f''(a) + o(h^2)，代入分子得 (1/2) h^2 f''(a) + o(h^2)。
公式：f(a+h) = f(a) + h f'(a) + (1/2) h^2 f''(a) + o(h^2)
提示：由于f在a处二阶可导，泰勒公式成立，注意余项为高阶无穷小。
步骤 3/3
目标：计算极限
代入后，I = lim_{h→0} [(1/2) h^2 f''(a) + o(h^2)] / h^2 = (1/2) f''(a)。
公式：I = (1/2) f''(a)
提示：极限计算时，高阶无穷小除以h^2趋于0。
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