kaoyan3basic 高等数学 第30题

**答案**：$\mathrm{e}^{3}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle I=\lim_{n\to\infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{1/n}{1-\cos(1/n)}}$，取对数得$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos\frac{1}{n}}\ln f\left(\frac{1}{n}\right)$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1-\cos(1/n)}=\lim_{x\to0}\frac{x}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{\frac{1}{2}x^{2}}=\infty$，需用等价无穷小：$\displaystyle 1-\cos\frac{1}{n}\sim\frac{1}{2n^{2}}$，故$\displaystyle \frac{1/n}{1-\cos(1/n)}\sim\frac{1/n}{1/(2n^{2})}=2n$，原极限为$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2n\ln f\left(\frac{1}{n}\right)$。 步骤3：$\displaystyle \ln f\left(\frac{1}{n}\right)\sim \ln\left(1+3\cdot\frac{1}{n}\right)\sim\frac{3}{n}$，故$\displaystyle 2n\cdot\frac{3}{n}=6$，指数为$6$，原极限$=\mathrm{e}^{6}$。但需重新检查：$\ln f(0)=\ln1=0$，$f^{\prime}(0)=3$，则$\ln f(x)\sim 3x$，故$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln f(1/n)}{1/n}=3$，而$\displaystyle \frac{1/n}{1-\cos(1/n)}\sim\frac{1/n}{1/(2n^{2})}=2n$，乘积为$\displaystyle 2n\cdot\frac{3}{n}=6$，故$I=\mathrm{e}^{6}$。 **难度**：★★★☆☆