kaoyan3basic 高等数学 第29题
📝 题目
### 第29题 29 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：$f$以3为周期且偶函数，则$f(5)=f(2)=f(-2)$，$f^{\prime}(5)=f^{\prime}(2)$。由偶函数得$f^{\prime}(-2)=-f^{\prime}(2)$，已知$f^{\prime}(-2)=-1$，故$f^{\prime}(2)=1$。 步骤2：原极限$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=\lim_{h\to0}\frac{1}{\frac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}}$，分母$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}=f^{\prime}(5)\cdot(-2\cos0)=1\cdot(-2)=-2$，故极限$\displaystyle =-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用周期性和奇偶性化简函数值及导数
由于f(x)以3为周期，f(5)=f(2)=f(-2)；由偶函数得f'(x)为奇函数，故f'(2)=-f'(-2)=1，且f'(5)=f'(2)=1。
公式：f(5)=f(2)=f(-2); f'(2)=-f'(-2)=1
提示：注意周期性和偶函数导数为奇函数
步骤 2/4
目标：将极限转化为导数定义形式
原极限=lim_{h→0} h/[f(5-2sin h)-f(5)] = 1/lim_{h→0} [f(5-2sin h)-f(5)]/h。
公式：lim_{h→0} h/(Δf) = 1/lim_{h→0} (Δf/h)
提示：分母极限存在且非零时可用倒数
步骤 3/4
目标：计算分母极限
令u=-2sin h，则当h→0时u→0，且u/h→-2。分母极限=lim_{h→0} [f(5+u)-f(5)]/h = f'(5)*lim_{h→0} u/h = 1*(-2) = -2。
公式：lim_{h→0} [f(5+u)-f(5)]/h = f'(5)*lim_{h→0} u/h
提示：使用复合函数极限法则
步骤 4/4
目标：得出最终结果
原极限=1/(-2) = -1/2。
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