kaoyan3basic 高等数学 第28题

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📝 题目

### 第28题 28 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{a} \sin \frac{1}{x}, & x>0,\end{array}\right.$ 若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$。 जेन्दिरुषि □

💡 答案解析

**答案**：$\alpha>1$；$\alpha>2$ **解析**：步骤1：$f(x)$在$x=0$可导，则连续：$\displaystyle \lim_{x\to0^{+}}x^{\alpha}\sin\frac{1}{x}=0$，需$\alpha>0$；且导数存在：$\displaystyle f_{-}^{\prime}(0)=\lim_{x\to0^{-}}\frac{x^{2}-0}{x}=0$，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{x^{\alpha}\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0^{+}}x^{\alpha-1}\sin\frac{1}{x}=0$，需$\alpha-1>0$即$\alpha>1$。 步骤2：$f^{\prime}(x)$连续，即$\lim_{x\to0^{+}}f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)=0$。当$x>0$时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac{1}{x}-x^{\alpha-2}\cos\frac{1}{x}$，极限为0需$\alpha-2>0$即$\alpha>2$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：确定f(x)在x=0处可导的条件
首先，f(x)在x=0处可导必须连续。计算左极限：lim_{x→0-} x^2 = 0；右极限：lim_{x→0+} x^α sin(1/x) = 0，需α>0。然后计算左右导数：左导数f'_-(0)=lim_{x→0-} (x^2-0)/x = 0；右导数f'_+(0)=lim_{x→0+} (x^α sin(1/x))/x = lim_{x→0+} x^{α-1} sin(1/x) = 0，需α-1>0即α>1。因此，f(x)可导时α>1。
公式：f'_+(0)=lim_{x→0+} x^{α-1} sin(1/x)=0 当 α-1>0
提示：注意sin(1/x)有界，极限为0取决于幂次为正。
步骤 2/2
目标：确定f'(x)在x=0处连续的条件
f'(x)连续要求lim_{x→0+} f'(x) = f'(0)=0。当x>0时，f'(x)=α x^{α-1} sin(1/x) - x^{α-2} cos(1/x)。两项极限均为0需α-1>0且α-2>0，即α>2。因此，f'(x)连续时α>2。
公式：f'(x)=α x^{α-1} sin(1/x) - x^{α-2} cos(1/x)，极限为0需α-2>0
提示：注意cos(1/x)振荡无界，需幂次足够高使极限为0。

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