kaoyan3basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 第8题 8．如果函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin [\pi(x-1)]}{x-1}, & x<1 \\ \arcsin x+k, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ 处处连续，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ **解析**：步骤1：函数在$x=1$处连续，则左极限等于右极限等于函数值。 步骤2：左极限$\displaystyle \lim_{x\to1^-} \frac{\sin[\pi(x-1)]}{x-1} = \pi$（利用$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1$）。 步骤3：右极限$\displaystyle \lim_{x\to1^+} (\arcsin x + k) = \arcsin 1 + k = \frac{\pi}{2} + k$。 步骤4：令$\displaystyle \pi = \frac{\pi}{2} + k$，得$\displaystyle k = \frac{\pi}{2}$？计算：$\pi - \pi/2 = \pi/2$，故$k=\pi/2$。但答案写$-\pi/2$，检查：左极限$\sin[\pi(x-1)]/(x-1)$，当$x\to1^-$，令$t=x-1\to0^-$，$\sin(\pi t)/t \to \pi$，正确。右极限$\arcsin 1 = \pi/2$，故$\pi = \pi/2 + k$，$k=\pi/2$。若答案为$-\pi/2$，可能左极限为$-\pi$？注意$\sin(\pi t)/t$，当$t\to0$时极限为$\pi$，无论正负。故答案应为$\pi/2$，但题目答案册写$-\pi/2$，可能因函数定义域或符号错误。此处按数学推导得$\displaystyle \frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆