kaoyan3basic 高等数学 第175题
📝 题目
### 第175题 175 函数 $f(x)=3 \ln x-x$ （A）没有零点． （B）有 1 个零点． （C）有 2 个零点． （D）有 3 个零点．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle f'(x)=\frac{3}{x}-1$，令$f'(x)=0$得$x=3$。 步骤2：$f(3)=3\ln3-3>0$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$。 步骤3：由连续性和单调性，在$(0,3)$和$(3,+\infty)$各有一个零点，共2个。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导数并找到临界点
对函数 f(x)=3ln x - x 求导，得到 f'(x)=3/x - 1。令 f'(x)=0，解得 x=3。
公式：f'(x)=3/x - 1
提示：注意定义域为 x>0。
步骤 2/3
目标：分析函数在临界点和边界处的取值
计算 f(3)=3ln3 - 3 > 0（因为 ln3≈1.0986，3ln3≈3.2958，减3得0.2958>0）。当 x→0⁺时，ln x → -∞，所以 f(x)→ -∞；当 x→+∞时，ln x 增长慢于 x，所以 f(x)→ -∞。
公式：f(3)=3ln3-3
提示：利用极限判断端点趋势。
步骤 3/3
目标：根据单调性和连续性判断零点个数
在 (0,3) 上，f'(x)>0，函数单调递增，从 -∞ 增加到 f(3)>0，因此有且仅有一个零点。在 (3,+∞) 上，f'(x)<0，函数单调递减，从 f(3)>0 递减到 -∞，因此也有且仅有一个零点。总共两个零点。
提示：结合单调性和端点值符号判断零点个数。
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