kaoyan3basic 高等数学 第176题

由于F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数，根据原函数定义，有F'(x)=f(x)，因此F(x)在(a,b)内可导，从而连续。但f(x)不一定可导，例如f(x)可以有第一类间断点。

由于F(x)连续，而f(x)可能不连续，但f(x)+F(x)作为两个函数的和，其连续性取决于f(x)。实际上，f(x)在(a,b)内不一定连续，但f(x)+F(x)一定连续吗？考虑f(x)有可去间断点的情况：设x0为f(x)的可去间断点，则F(x)在x0处可导，故连续，但f(x)在x0处不连续，那么f(x)+F(x)在x0处也不连续？实际上，由于F'(x)=f(x)在x0处成立，但f(x)在x0处有间断，则F'(x0)存在，但f(x)在x0处不连续，这似乎矛盾？注意：原函数定义要求F'(x)=f(x)对每一点成立，因此f(x)在每一点都有定义，且F'(x)=f(x)，所以f(x)实际上就是F'(x)，而导函数不一定连续，但f(x)作为导函数，可以有不连续点，但f(x)在每一点都有定义。因此f(x)+F(x)是连续函数吗？F(x)连续，f(x)作为导函数，可能具有间断点，但导函数具有介值性，其间断点只能是第二类间断点。但无论如何，f(x)+F(x)不一定连续？实际上，由于F(x)连续，f(x)可能不连续，但两个不连续函数的和可能连续。例如，取F(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), F(0)=0，则f(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) (x≠0), f(0)=0，f(x)在x=0处不连续，但F(x)连续，f(x)+F(x)在x=0处？计算f(0)+F(0)=0，而x→0时，f(x)+F(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x)+x^2 sin(1/x)，极限不存在，故不连续。因此f(x)+F(x)不一定连续。但题目中选项B说连续，不一定正确。然而，原题答案选C，即存在原函数。实际上，由于F(x)可导，f(x)是导函数，f(x)+F(x)作为两个函数的和，其原函数存在吗？因为F(x)有原函数（即其本身的一个原函数？实际上，F(x)的原函数是∫F(x)dx，但这里我们考虑的是f(x)+F(x)的原函数。由于f(x)有原函数F(x)，而F(x)有原函数（因为F(x)连续，故存在原函数），所以f(x)+F(x)存在原函数（即F(x)加上F(x)的一个原函数）。因此C正确。

A：可导？不一定，因为f(x)可能不连续，导致f(x)+F(x)不可导。B：连续？不一定，如上反例。C：存在原函数？由于f(x)有原函数F(x)，F(x)连续，故存在原函数，因此f(x)+F(x)存在原函数。D：初等函数？不一定，例如f(x)为分段函数时。因此选C。