kaoyan3basic 高等数学 第177题
📝 题目
### 第177题 177 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数． （B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数． （C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ． （D）在 $[-1,1]$ 不可积．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$f(x)$在$[-1,1]$上有界，且只有$x=0$一个间断点，故可积。 步骤2：$F(x)=\int_{-1}^x f(t)dt$在$[-1,1]$上连续。 步骤3：$|F(x)|\le\int_{-1}^1|f(t)|dt\le2$，有界。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断f(x)的可积性
f(x)在[-1,1]上有界，且只有x=0一个间断点，故f(x)在[-1,1]上可积。
提示：有界且只有有限个间断点的函数可积。
步骤 2/3
目标：分析F(x)的连续性
由于f(x)在[-1,1]上可积，变上限积分函数F(x)=∫_{-1}^x f(t)dt在[-1,1]上连续。
提示：变上限积分函数在被积函数可积时连续。
步骤 3/3
目标：判断F(x)的有界性
|F(x)| ≤ ∫_{-1}^1 |f(t)|dt ≤ ∫_{-1}^1 1 dt = 2，故F(x)在(-1,1)上有界。
公式：|∫_a^b f| ≤ ∫_a^b |f|
提示：利用绝对值不等式估计。
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