kaoyan3basic 高等数学 第178题
📝 题目
### 第178题 178 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时 （A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ． （B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$f'(x)>0$，$f(x)$单调增，当$t\in[x,x+\Delta x]$时$f(t)\ge f(x)$。 步骤2：$\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt\ge f(x)\Delta x>0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用单调性比较被积函数与f(x)的大小
由f'(x)>0知f(x)单调递增，因此当t∈[x, x+Δx]时，有f(t) ≥ f(x)。
公式：f'(x)>0 ⇒ f(t) ≥ f(x) for t∈[x, x+Δx]
提示：注意Δx>0，积分区间在x右侧。
步骤 2/2
目标：利用积分不等式得到结论
对不等式f(t) ≥ f(x)在区间[x, x+Δx]上积分，得∫_x^{x+Δx} f(t) dt ≥ ∫_x^{x+Δx} f(x) dt = f(x)Δx。又f(x)>0，Δx>0，故f(x)Δx>0。
公式：∫_x^{x+Δx} f(t) dt ≥ f(x)Δx > 0
提示：积分保号性：若被积函数非负，则积分非负。
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