kaoyan3basic 高等数学 第174题
📝 题目
### 第174题 174 曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ （A）既有铅直又有水平与斜渐近线． （B）仅有铅直渐近线． （C）只有铅直与水平渐近线． （D）只有铅直与斜渐近线．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$x=\pm1$为间断点，$\lim_{x\to1^+}y=+\infty$，$\lim_{x\to-1^-}y=+\infty$，有铅直渐近线$x=1$和$x=-1$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=1$，$\lim_{x\to\infty}(y-x)=0$，有斜渐近线$y=x$。 步骤3：$\lim_{x\to\infty}y=\infty$，无水平渐近线。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定铅直渐近线
函数在 x=±1 处无定义，且当 x→1⁺ 时，y→+∞；当 x→-1⁻ 时，y→+∞，因此有铅直渐近线 x=1 和 x=-1。
公式：lim_{x→1⁺} y = +∞, lim_{x→-1⁻} y = +∞
提示：检查分母为零的点，并计算单侧极限。
步骤 2/3
目标：确定斜渐近线
计算 lim_{x→∞} y/x = 1，lim_{x→∞} (y - x) = 0，因此有斜渐近线 y = x。
公式：a = lim_{x→∞} y/x = 1, b = lim_{x→∞} (y - ax) = 0
提示：斜渐近线存在时，a 必须为非零有限值。
步骤 3/3
目标：确定水平渐近线
计算 lim_{x→∞} y = ∞，因此无水平渐近线。
公式：lim_{x→∞} y = ∞
提示：水平渐近线要求极限为有限值。
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