kaoyan3basic 高等数学 第173题
📝 题目
### 第173题 173 设 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则 （A）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：令$g(x)=f(x)-x$，则$g(1)=0$，$g'(x)=f'(x)-1$，$g'(1)=0$。 步骤2：由$f'(x)$单调减少，当$x<1$时$f'(x)>f'(1)=1$，$g'(x)>0$；当$x>1$时$f'(x)<1$，$g'(x)<0$。 步骤3：因此$g(x)$在$(1-\delta,1)$内单调增，$g(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并求导
令 g(x) = f(x) - x，则 g(1) = f(1) - 1 = 0，g'(x) = f'(x) - 1，g'(1) = f'(1) - 1 = 0。
公式：g(x)=f(x)-x, g'(x)=f'(x)-1
提示：构造函数是处理函数比较问题的常用方法。
步骤 2/3
目标：利用导数单调性分析符号
由 f'(x) 单调减少，当 x < 1 时，f'(x) > f'(1) = 1，故 g'(x) > 0；当 x > 1 时，f'(x) < 1，故 g'(x) < 0。
公式：单调减少：x<1 ⇒ f'(x)>1; x>1 ⇒ f'(x)<1
提示：注意单调减少的定义：自变量越大，函数值越小。
步骤 3/3
目标：判断 g(x) 的符号
在 (1-δ,1) 内 g'(x)>0，g(x) 单调递增，故 g(x) < g(1)=0，即 f(x) < x；在 (1,1+δ) 内 g'(x)<0，g(x) 单调递减，故 g(x) < g(1)=0，即 f(x) < x。因此，在两侧均有 f(x) < x。
公式：单调性：递增时 g(x)
提示：注意 g(1)=0，所以 g(x)<0 对应 f(x)
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