kaoyan3basic 高等数学 第171题
📝 题目
### 第171题 171 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则 （A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． （D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$y=(x-4)^{1/3}$，定义域为$(-\infty,+\infty)$。$\displaystyle y'=\frac{1}{3}(x-4)^{-2/3}$，$\displaystyle y''=-\frac{2}{9}(x-4)^{-5/3}$。当$x<4$时，$(x-4)^{-5/3}<0$，故$y''>0$，曲线凹；当$x>4$时，$(x-4)^{-5/3}>0$，故$y''<0$，曲线凸。在$x=4$处$y''$不存在，但两侧凹凸性改变，故$(4,0)$是拐点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数定义域
函数 y = (x-4)^{1/3} 是三次根式，定义域为全体实数 R。
提示：注意根指数为奇数，被开方数可为任意实数。
步骤 2/5
目标：求一阶导数
y' = (1/3)(x-4)^{-2/3}。
公式：y' = (1/3)(x-4)^{-2/3}
提示：使用幂函数求导公式。
步骤 3/5
目标：求二阶导数
y'' = (1/3)*(-2/3)*(x-4)^{-5/3} = -2/9 (x-4)^{-5/3}。
公式：y'' = -2/9 (x-4)^{-5/3}
提示：注意负指数幂的求导。
步骤 4/5
目标：分析二阶导数符号
当 x<4 时，(x-4)^{-5/3} < 0，故 y'' > 0，曲线凹；当 x>4 时，(x-4)^{-5/3} > 0，故 y'' < 0，曲线凸。
提示：注意 (x-4)^{-5/3} 在 x=4 处无定义，但符号由 (x-4) 的符号决定。
步骤 5/5
目标：判断拐点
在 x=4 处，y'' 不存在，但左右两侧凹凸性改变，且 y(4)=0，故 (4,0) 是拐点。
提示：拐点要求曲线在该点连续且凹凸性改变。
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