kaoyan3basic 高等数学 第114题
📝 题目
### 第114题 114 设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\pi$ **解析**：圆域化为$(x-1)^2+(y-1)^2\leq 2$，令$u=x-1, v=y-1$，则$D': u^2+v^2\leq 2$，积分$\iint_{D'} (u+1)(v+1) du dv = \iint_{D'} (uv+u+v+1) du dv$，由对称性，$uv, u, v$的积分为0，故结果为$\iint_{D'} 1 du dv = \pi \cdot 2 = 2\pi$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将积分区域化为标准圆域
将圆域方程 x^2 + y^2 ≤ 2x + 2y 化为标准形式：x^2 - 2x + y^2 - 2y ≤ 0，即 (x-1)^2 + (y-1)^2 ≤ 2。
公式：(x-1)^2 + (y-1)^2 ≤ 2
提示：配方时注意一次项系数的一半平方。
步骤 2/4
目标：进行变量代换简化积分
令 u = x-1, v = y-1，则积分区域变为 D': u^2 + v^2 ≤ 2，被积函数变为 (u+1)(v+1) = uv + u + v + 1。
公式：x = u+1, y = v+1
提示：代换后雅可比行列式为1，面积元不变。
步骤 3/4
目标：利用对称性简化积分
在圆域 D' 上，由于对称性，奇函数 uv、u、v 的积分均为0，因此积分简化为 ∬_{D'} 1 du dv，即区域 D' 的面积。
公式：∬_{D'} uv du dv = 0, ∬_{D'} u du dv = 0, ∬_{D'} v du dv = 0
提示：注意被积函数关于u或v的奇偶性。
步骤 4/4
目标：计算区域面积得到结果
区域 D' 是半径为 √2 的圆，面积为 π*(√2)^2 = 2π。
公式：面积 = πr^2 = π*(√2)^2 = 2π
提示：圆面积公式。
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