kaoyan3basic 高等数学 第113题
📝 题目
### 第113题 113 计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left(\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{3}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{2 n-1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac12(1-\mathrm{e}^{-1})$ **解析**：令$\displaystyle x_n = \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2n+1}}$，当$n\to\infty$时，$\displaystyle \sqrt[n]{2}=e^{\frac{\ln2}{n}}\sim 1+\frac{\ln2}{n}$，$\displaystyle \sqrt[n]{2n+1}=e^{\frac{\ln(2n+1)}{n}}\sim 1$，故$\displaystyle x_n\sim \frac{\ln2}{n}$。和式$\displaystyle \sum_{k=1}^n \int_1^{\frac{2k-1}{2n}} e^{-y^2}dy$可视为将区间$[0,1]$分为$n$等份，取右端点$\displaystyle \frac{2k-1}{2n}$的积分和，极限为$\int_0^1 \left(\int_1^t e^{-y^2}dy\right) dt$，交换积分次序得$\displaystyle \int_1^0 e^{-y^2}dy \int_y^1 dt = \int_0^1 (1-y)e^{-y^2}dy = \frac12(1-e^{-1})$。 **难度**：★★★★☆