kaoyan3basic 高等数学 第199题
📝 题目
### 第199题 199 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上 （A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数． （B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数． （C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数． （D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：被积函数$\ln(1+\cos^2 t)\cos 2t$以$\pi$为周期，且为偶函数。 步骤2：$F(x)=\int_x^{x+\pi} \ln(1+\cos^2 t)\cos 2t\,dt$，由于周期为$\pi$，$F(x)$为常数。 步骤3：取$x=0$，$F(0)=\int_0^\pi \ln(1+\cos^2 t)\cos 2t\,dt$，令$\displaystyle u=t-\frac{\pi}{2}$，被积函数为奇函数，积分为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
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