kaoyan3basic 高等数学 第198题

教材习题

📝 题目

### 第198题 $\displaystyle 198 I=\int_{\pi}^{\frac{3}{2} \pi} \sin ^{2} \theta \cos ^{5} \theta \mathrm{~d} \theta=$ （A）$\displaystyle -\frac{8}{105}$ ． （B）$\displaystyle -\frac{4}{35}$ ． （C）$\displaystyle \frac{4}{35}$ ． （D）$\displaystyle \frac{2}{105}$ ．

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：令$g(t)=f(t)-f(-t)$，则$g(t)$为奇函数，且周期为$T$。 步骤2：$\Phi(x)=\int_a^x g(t)dt$，$\Phi(-x)=\int_a^{-x}g(t)dt$，令$u=-t$得$\Phi(-x)=-\int_{-a}^x g(-u)du = \int_{-a}^x g(u)du$，与$\Phi(x)$关系不确定，但$\Phi(0)=0$，且$\Phi(x+T)=\int_a^{x+T}g(t)dt=\int_a^x g(t)dt+\int_x^{x+T}g(t)dt$，由周期性$\int_x^{x+T}g(t)dt=0$，故$\Phi(x+T)=\Phi(x)$，即周期为$T$。 步骤3：$\Phi(-x)=\int_a^{-x}g(t)dt$，令$u=-t$得$\Phi(-x)=-\int_{-a}^x g(-u)du = \int_{-a}^x g(u)du$，而$\Phi(x)=\int_a^x g(u)du$，两者不一定相等，但由$g$为奇函数，可证$\Phi(x)$为偶函数。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：化简被积函数
将 cos^5θ 拆分为 cos^4θ·cosθ，并利用 sin^2θ = 1 - cos^2θ 进行代换。令 u = cosθ，则 du = -sinθ dθ。当 θ = π 时，u = -1；当 θ = 3π/2 时，u = 0。原积分化为 I = ∫_{u=-1}^{0} (1-u^2) u^5 (-du) = ∫_{-1}^{0} (u^5 - u^7) du。
公式：sin^2θ = 1 - cos^2θ, d(cosθ) = -sinθ dθ
提示：注意积分限变换时，上下限对应 u 的值，且 du 的负号可以交换积分限来消除。
步骤 2/3
目标：计算定积分
计算 ∫_{-1}^{0} (u^5 - u^7) du = [u^6/6 - u^8/8]_{-1}^{0} = (0 - 0) - (1/6 - 1/8) = - (1/6 - 1/8) = - (4/24 - 3/24) = -1/24。
公式：∫ u^n du = u^{n+1}/(n+1)
提示：代入上下限时，注意 u=0 时值为0，u=-1 时注意偶次幂为正。
步骤 3/3
目标：得出最终结果
积分结果为 -1/24，但选项中没有该值，说明计算有误。重新检查：原积分 I = ∫_{π}^{3π/2} sin^2θ cos^5θ dθ，令 u=cosθ，则 du=-sinθ dθ，sin^2θ=1-u^2，所以 I = ∫_{u=-1}^{0} (1-u^2) u^5 (-du) = ∫_{-1}^{0} (u^5 - u^7) du = [u^6/6 - u^8/8]_{-1}^{0} = (0-0) - (1/6 - 1/8) = -1/24。但选项为分数，可能符号或系数有误。实际上，cos^5θ 在区间内为负，sin^2θ 非负，积分应为负，但选项 D 为正 2/105，说明可能积分限或函数处理有误。重新计算：令 u=sinθ，则 du=cosθ dθ，但 cos^5θ 需用 sin 表示。更简单：利用对称性，或直接计算。另一种方法：将 cos^5θ 写为 (1-sin^2θ)^2 cosθ，令 u=sinθ，则 du=cosθ dθ，当 θ=π 时 u=0，θ=3π/2 时 u=-1，积分 I = ∫_{0}^{-1} u^2 (1-u^2)^2 du = ∫_{0}^{-1} u^2 (1 - 2u^2 + u^4) du = ∫_{0}^{-1} (u^2 - 2u^4 + u^6) du = [u^3/3 - 2u^5/5 + u^7/7]_{0}^{-1} = (-1/3 + 2/5 - 1/7) = 计算公分母 105：-35/105 + 42/105 - 15/105 = -8/105。所以 I = -8/105，对应选项 A。但答案给出 D，矛盾。检查题目：原题积分区间为 π 到 3π/2，sin^2θ cos^5θ，cos 在第三象限为负，cos^5 为负，sin^2 为正，积分应为负，选项 A 为负，D 为正，故应选 A。但解析中答案写 D，可能是印刷错误。根据计算，正确结果为 -8/105。
公式：∫ u^2 (1-u^2)^2 du
提示：注意积分区间对应的 u 值，以及符号。

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