kaoyan3basic 高等数学 第196题
📝 题目
### 第196题 196 设 $f(x)$ 为以 $T$ 为周期的非零连续函数，$\Phi(x)=\int_{a}^{x}[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t, a$ 是常数，则 （A）$\Phi(x)$ 是以 $T$ 为周期的偶函数． （B）$\Phi(x)$ 是以 $T$ 为周期的奇函数． （C）$\Phi(x)$ 是偶函数，但不一定以 $T$ 为周期． （D）$\Phi(x)$ 是奇函数，但不一定以 $T$ 为周期． 197函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：设$f(x)$为偶函数，则$\int_0^x f(t)dt$是奇函数，但全体原函数为$\int_0^x f(t)dt+C$，当$C\neq0$时非奇函数，故B错误。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析Φ(x)的奇偶性
计算Φ(-x) = ∫_a^{-x} [f(t)-f(-t)] dt，令u=-t，则dt=-du，积分限变为t=a时u=-a，t=-x时u=x，所以Φ(-x) = ∫_{-a}^{x} [f(-u)-f(u)] (-du) = ∫_{-a}^{x} [f(u)-f(-u)] du。而Φ(x) = ∫_a^x [f(t)-f(-t)] dt。比较Φ(-x)与Φ(x)，若a=0，则Φ(-x) = ∫_0^x [f(u)-f(-u)] du = Φ(x)，但a是任意常数，一般Φ(-x) ≠ Φ(x)或-Φ(x)，因此Φ(x)不一定具有奇偶性。但题目中Φ(x)的定义中积分下限是a，不是0，所以奇偶性依赖于a。然而，注意到Φ(x) = ∫_a^x g(t) dt，其中g(t)=f(t)-f(-t)。由于g(t)是奇函数（因为g(-t)=f(-t)-f(t) = -g(t)），所以其原函数中有一个是偶函数（因为奇函数的原函数是偶函数），但任意原函数相差常数，所以Φ(x) = G(x) - G(a)，其中G(x)是g(x)的一个原函数，且G(x)是偶函数。因此Φ(x) = G(x) - G(a)，而Φ(-x) = G(-x) - G(a) = G(x) - G(a) = Φ(x)，所以Φ(x)是偶函数。注意这里G(x)是偶函数，所以Φ(x)是偶函数，与a无关。
公式：g(t)=f(t)-f(-t)为奇函数，其原函数G(x)为偶函数
提示：奇函数的原函数是偶函数，但需注意原函数加常数后仍为偶函数？实际上，若G(x)是偶函数，则G(x)+C也是偶函数当且仅当C=0？不对，偶函数定义：G(-x)+C = G(x)+C，所以G(-x)=G(x)，因此G(x)+C仍是偶函数。所以Φ(x)=G(x)-G(a)是偶函数。
步骤 2/3
目标：分析Φ(x)的周期性
由于f(x)以T为周期，则f(-x)也以T为周期？实际上，f(-(x+T)) = f(-x-T)，由于f周期为T，f(-x-T)=f(-x)，所以f(-x)也是以T为周期。因此g(x)=f(x)-f(-x)也是以T为周期。那么g(x)的原函数G(x)是否以T为周期？不一定，因为周期函数的原函数不一定周期，但G(x+T)-G(x)=∫_x^{x+T} g(t) dt，由于g周期，这个积分等于∫_0^T g(t) dt。若∫_0^T g(t) dt=0，则G(x+T)=G(x)，即G周期。计算∫_0^T g(t) dt = ∫_0^T [f(t)-f(-t)] dt = ∫_0^T f(t) dt - ∫_0^T f(-t) dt。令u=-t，则∫_0^T f(-t) dt = ∫_0^{-T} f(u)(-du) = ∫_{-T}^0 f(u) du。由于f周期，∫_{-T}^0 f(u) du = ∫_0^T f(u) du，所以∫_0^T g(t) dt = 0。因此G(x)以T为周期。那么Φ(x)=G(x)-G(a)也以T为周期。
公式：∫_0^T g(t) dt = 0 ⇒ G(x+T)=G(x)
提示：周期函数的原函数为周期函数的充要条件是原函数在一个周期上的积分为0。
步骤 3/3
目标：综合结论
Φ(x)既是偶函数又是以T为周期的函数，因此选B。
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