kaoyan3basic 高等数学 第195题
📝 题目
### 第195题 195 下列叙述错误的是 （A）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为奇函数，则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为偶函数． （B）设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上连续为偶函数，则 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上的全体原函数为奇函数． （C）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期且为奇函数，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数． （D）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，以 $T$ 为周期，又 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 也是以 $T$ 为周期的函数．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$F(x)=\int_0^x f(t)dt$，$x>0$时$\displaystyle F(x)=\int_0^x \sqrt{4+t}\,dt = \frac{2}{3}[(4+x)^{3/2}-8]$；$x<0$时$\displaystyle F(x)=\int_0^x \sqrt{1-t}\,dt = -\frac{2}{3}[(1-x)^{3/2}-1]$。 步骤2：$\lim_{x\to 0^+}F(x)=0$，$\lim_{x\to 0^-}F(x)=0$，$F(0)=0$，故连续。 步骤3：$\displaystyle F'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)-F(0)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{2}{3}[(4+x)^{3/2}-8]}{x}=2$，$\displaystyle F'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{-\frac{2}{3}[(1-x)^{3/2}-1]}{x}=1$，左右导数不等，不可导。 **难度**：★★☆☆☆