kaoyan3basic 高等数学 第194题
📝 题目
### 第194题 194 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 （A）$F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续． （B）$F(x)$ 在 $x=0$ 点不可导． （C）$F(x)$ 在 $x=0$ 点可导，$F^{\prime}(0)=f(0)$ ． （D）$F(x)$ 在 $x=0$ 点可导，但 $F^{\prime}(0) \neq f(0)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由变上限积分求导公式，$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{2x}^{\ln x} \ln(1+t)dt = \ln(1+\ln x)\cdot\frac{1}{x} - \ln(1+2x)\cdot 2$。 步骤2：结果为$\displaystyle \frac{1}{x}\ln(1+\ln x)-2\ln(1+2x)$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断F(x)在x=0处的连续性
计算F(0)=∫_0^0 f(t)dt=0。计算左极限lim_{x→0^-} F(x)=lim_{x→0^-} ∫_0^x √(1-t) dt = lim_{x→0^-} [ -2/3 (1-t)^{3/2} ]_0^x = lim_{x→0^-} (-2/3 (1-x)^{3/2} + 2/3) = 0。计算右极限lim_{x→0^+} F(x)=lim_{x→0^+} ∫_0^x √(4+t) dt = lim_{x→0^+} [ 2/3 (4+t)^{3/2} ]_0^x = lim_{x→0^+} (2/3 (4+x)^{3/2} - 16/3) = 2/3 * 8 - 16/3 = 0。左右极限等于F(0)=0，故F(x)在x=0处连续。
公式：∫√(a+t) dt = (2/3)(a+t)^{3/2} + C
提示：注意分段积分时，积分限要对应分段区间。
步骤 2/2
目标：判断F(x)在x=0处的可导性
计算左导数：F'_-(0)=lim_{x→0^-} (F(x)-F(0))/(x-0)=lim_{x→0^-} (∫_0^x √(1-t) dt)/x。利用洛必达法则或积分中值定理，得lim_{x→0^-} √(1-x)/1 = 1。计算右导数：F'_+(0)=lim_{x→0^+} (F(x)-F(0))/(x-0)=lim_{x→0^+} (∫_0^x √(4+t) dt)/x = lim_{x→0^+} √(4+x)/1 = 2。左右导数不相等，故F(x)在x=0处不可导。
公式：F'(x)=f(x)（当f连续时），但此处f在x=0处不连续，故需用定义。
提示：变上限积分函数在f有跳跃间断点时，F连续但不可导。
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