kaoyan3basic 高等数学 第250题
📝 题目
### 第250题 250 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处 （A）取极大值． （B）取极小值． （C）不取得极值． （D）是否取得极值与 $k$ 的取值有关．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：求驻点，$f_x=2kx=0$，$f_y=3y^2-3=0$，得$(0,1)$和$(0,-1)$。步骤2：在$(0,1)$处，$A=f_{xx}=2k$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=6y=6$，$AC-B^2=12k$。步骤3：当$k>0$时$AC-B^2>0$且$A>0$，为极小值；当$k<0$时$AC-B^2<0$，不是极值；当$k=0$时$AC-B^2=0$，需进一步判断。步骤4：沿$x=0$，$f(0,y)=y^3-3y$，在$y=1$处$f''=6>0$为极小；沿$y=1$，$f(x,1)=kx^2-2$，当$k=0$时为常数，故$(0,1)$不一定是极值点。综合，与$k$有关，选D。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求驻点
对函数 f(x,y)=kx^2+y^3-3y 求偏导：f_x=2kx=0，f_y=3y^2-3=0。解得驻点为 (0,1) 和 (0,-1)。
公式：f_x=2kx, f_y=3y^2-3
提示：注意解方程组时，由 f_x=0 得 x=0，代入 f_y=0 得 y=±1。
步骤 2/5
目标：计算二阶偏导和判别式
计算二阶偏导：f_xx=2k，f_xy=0，f_yy=6y。在点 (0,1) 处，A=f_xx=2k，B=f_xy=0，C=f_yy=6，则 AC-B^2=12k。
公式：AC-B^2 = f_xx f_yy - (f_xy)^2
提示：注意 f_yy 在 (0,1) 处为 6，因为 y=1。
步骤 3/5
目标：根据判别式分类讨论
当 k>0 时，AC-B^2>0 且 A>0，为极小值；当 k<0 时，AC-B^2<0，不是极值；当 k=0 时，AC-B^2=0，需进一步判断。
公式：若 AC-B^2>0 且 A>0 则极小，A<0 则极大；若 AC-B^2<0 则不是极值；若 AC-B^2=0 则需其他方法。
提示：注意 k=0 时判别式失效，需用定义或特殊路径判断。
步骤 4/5
目标：判断 k=0 时的情况
当 k=0 时，f(x,y)=y^3-3y。沿 x=0，f(0,y)=y^3-3y，在 y=1 处二阶导数为 6>0，沿 y=1 方向为常数，故 (0,1) 不是极值点。
公式：沿 x=0: f(0,y)=y^3-3y, f''(1)=6>0; 沿 y=1: f(x,1)= -2 常数。
提示：沿不同路径函数值变化不同，说明不是极值。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上，当 k>0 时 (0,1) 为极小值，当 k≤0 时不是极值，因此是否取得极值与 k 的取值有关。
提示：注意题目问的是在点 (0,1) 处，答案选 D。
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