kaoyan3basic 高等数学 第251题
📝 题目
### 第251题 251 函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为 （A）-1 ． （B） 1 ． （C） $1+\sqrt{2}$ ． （D） $1-\sqrt{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：在区域内部，$f_x=1\neq0$，$f_y=1\neq0$，无极值点。步骤2：在边界$x^2+y^2=1$上，令$x=\cos\theta,y=\sin\theta$，则$\displaystyle f=1+\cos\theta+\sin\theta=1+\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$。步骤3：最大值为$1+\sqrt{2}$，最小值为$1-\sqrt{2}$，乘积为$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：寻找区域内部可能的极值点
计算偏导数：f_x = 1, f_y = 1。令它们等于0，得到方程组1=0, 1=0，无解，因此在区域内部无极值点。
公式：f_x = 1, f_y = 1
提示：注意偏导数恒不为0，所以内部没有驻点。
步骤 2/4
目标：在边界上求最值
边界为圆x^2+y^2=1，使用参数化：令x=cosθ, y=sinθ，则f=1+cosθ+sinθ=1+√2 sin(θ+π/4)。
公式：f(θ)=1+√2 sin(θ+π/4)
提示：利用三角恒等式sinθ+cosθ=√2 sin(θ+π/4)。
步骤 3/4
目标：确定最大值和最小值
sin(θ+π/4)的取值范围是[-1,1]，所以f的最大值为1+√2，最小值为1-√2。
公式：max=1+√2, min=1-√2
提示：注意正弦函数的值域。
步骤 4/4
目标：计算最大值与最小值的乘积
乘积为(1+√2)(1-√2)=1-2=-1。
公式：(1+√2)(1-√2)=1-2=-1
提示：利用平方差公式。
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