kaoyan3basic 高等数学 第252题
📝 题目
### 第252题 252 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是 （A） $\mathrm{e}^{2}$ ． （B）$e$ ． （C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ． 253设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f(x,y)=e^{-xy}$，在闭区域$4x^2+y^2\leq1$上连续，最值在边界或内部驻点取得。步骤2：内部驻点：$f_x=-ye^{-xy}=0$，$f_y=-xe^{-xy}=0$，得$x=0,y=0$，$f(0,0)=1$。步骤3：边界$4x^2+y^2=1$上，令$\displaystyle x=\frac{1}{2}\cos\theta,y=\sin\theta$，则$\displaystyle xy=\frac{1}{2}\cos\theta\sin\theta=\frac{1}{4}\sin2\theta$，$\displaystyle f=e^{-\frac{1}{4}\sin2\theta}$。步骤4：当$\sin2\theta=-1$时$xy$最小为$\displaystyle -\frac{1}{4}$，$f$最大为$\displaystyle e^{\frac{1}{4}}$。 **难度**：★★★☆☆