kaoyan3basic 高等数学 第254题
📝 题目
### 第254题 254 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则 （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点． 纠锱笔记
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由极限式，$f(x,y)=x^4+x^2y^2+y^4-4x^2+y^2+o(\rho^4)$，其中$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$。步骤2：在$(0,0)$处$f(0,0)=0$，沿$y=0$，$f(x,0)=x^4-4x^2\sim-4x^2<0$；沿$x=0$，$f(0,y)=y^4+y^2\sim y^2>0$。步骤3：不同方向符号不同，故$(0,0)$不是极值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：由极限式推导f(x,y)的表达式
由极限式可知，当(x,y)→(0,0)时，分子f(x,y)+4x^2-y^2与分母x^4+x^2y^2+y^4为同阶无穷小，且极限为1，因此f(x,y)+4x^2-y^2 = x^4+x^2y^2+y^4 + o(ρ^4)，其中ρ=√(x^2+y^2)。所以f(x,y)=x^4+x^2y^2+y^4-4x^2+y^2+o(ρ^4)。
公式：f(x,y)=x^4+x^2y^2+y^4-4x^2+y^2+o(ρ^4)
提示：注意极限为1意味着分子与分母等价，忽略高阶无穷小。
步骤 2/4
目标：计算f(0,0)的值
将(0,0)代入f(x,y)的表达式，得f(0,0)=0。
公式：f(0,0)=0
步骤 3/4
目标：沿不同方向考察f(x,y)的符号
沿y=0方向，f(x,0)=x^4-4x^2+o(x^4) ≈ -4x^2 < 0（当x≠0且充分小时）；沿x=0方向，f(0,y)=y^4+y^2+o(y^4) ≈ y^2 > 0（当y≠0且充分小时）。因此，在(0,0)的任意邻域内，f(x,y)既可取正值也可取负值。
公式：f(x,0)≈-4x^2, f(0,y)≈y^2
提示：沿不同方向符号不同，说明(0,0)不是极值点。
步骤 4/4
目标：判断极值点
由于在(0,0)附近f(x,y)的符号变化，且f(0,0)=0，所以(0,0)不是极值点。
提示：极值点要求在该点附近函数值同号。
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