kaoyan3basic 高等数学 第255题
📝 题目
### 第255题 255 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $x y z \leqslant b$ ，则 $b$ 的最小取值是 （A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ． （B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ． （C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ． （D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：由均值不等式，$x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$，即$a \geq 3\sqrt[3]{xyz}$，故$\displaystyle xyz \leq \frac{a^3}{27}$。当$\displaystyle x=y=z=\frac{a}{3}$时取等，故$b$的最小值为$\displaystyle \frac{a^3}{27}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：确定b的最小值
由均值不等式，对于正数x,y,z有x+y+z ≥ 3∛(xyz)。代入x+y+z=a得a ≥ 3∛(xyz)，即∛(xyz) ≤ a/3，所以xyz ≤ a³/27。当x=y=z=a/3时取等号，故b的最小值为a³/27。
公式：x+y+z ≥ 3∛(xyz)
提示：注意均值不等式取等条件为各数相等。
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