kaoyan3basic 高等数学 第87题
📝 题目
### 第87题 87 设 $z=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x+y}+y^{2}+(x+y)^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x+y}+3(x+y)^2$ **解析**： 步骤1：$z=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x+y}+y^2+(x+y)^3$，对$x$求偏导，视$y$为常数。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x+y}\cdot1+0+3(x+y)^2\cdot1=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x+y}+3(x+y)^2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确求偏导对象
给定函数 z = e^x - e^{x+y} + y^2 + (x+y)^3，需要求 ∂z/∂x，即对 x 求偏导数，此时将 y 视为常数。
提示：偏导运算中，除求导变量外，其他变量均视为常数。
步骤 2/3
目标：逐项求偏导
第一项 e^x 对 x 求导得 e^x；第二项 -e^{x+y} 对 x 求导得 -e^{x+y} * 1 = -e^{x+y}；第三项 y^2 是常数，导数为 0；第四项 (x+y)^3 对 x 求导得 3(x+y)^2 * 1 = 3(x+y)^2。
公式：d/dx e^{x+y} = e^{x+y}, d/dx (x+y)^3 = 3(x+y)^2
提示：注意复合函数求导法则，内层函数对 x 导数为 1。
步骤 3/3
目标：合并结果
将各项导数相加：∂z/∂x = e^x - e^{x+y} + 3(x+y)^2。
提示：最终结果中不含 y^2 项，因为其导数为 0。
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