kaoyan3basic 高等数学 第89题
📝 题目
### 第89题 89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{(1+\pi)^2}-\cos\pi$ **解析**： 步骤1：$f(x,y)=\ln|x+y|-\sin(xy)$，先求$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x+y}-y\cos(xy)$。 步骤2：再求$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{x+y}-y\cos(xy)\right)=-\frac{1}{(x+y)^2}-\cos(xy)+xy\sin(xy)$。 步骤3：代入$(1,\pi)$得$\displaystyle -\frac{1}{(1+\pi)^2}-\cos\pi+\pi\sin\pi=-\frac{1}{(1+\pi)^2}+1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶偏导数 ∂f/∂x
对 f(x,y)=ln|x+y|-sin(xy) 关于 x 求偏导，将 y 视为常数。ln|x+y| 的导数为 1/(x+y)，sin(xy) 的导数为 y cos(xy)，所以 ∂f/∂x = 1/(x+y) - y cos(xy)。
公式：∂/∂x [ln|x+y|] = 1/(x+y)，∂/∂x [sin(xy)] = y cos(xy)
提示：注意 ln|x+y| 的导数与 ln(x+y) 相同，因为绝对值不影响导数（在 x+y≠0 时）。
步骤 2/3
目标：求混合偏导数 ∂²f/∂x∂y
对 ∂f/∂x = 1/(x+y) - y cos(xy) 关于 y 求偏导。第一项 1/(x+y) 对 y 的导数为 -1/(x+y)²；第二项 -y cos(xy) 对 y 的导数使用乘积法则：-cos(xy) + xy sin(xy)。所以 ∂²f/∂x∂y = -1/(x+y)² - cos(xy) + xy sin(xy)。
公式：∂/∂y [1/(x+y)] = -1/(x+y)²，∂/∂y [y cos(xy)] = cos(xy) - xy sin(xy)
提示：注意符号：-y cos(xy) 求导后为 -[cos(xy) - xy sin(xy)] = -cos(xy) + xy sin(xy)。
步骤 3/3
目标：代入点 (1, π) 计算数值
将 x=1, y=π 代入 ∂²f/∂x∂y = -1/(x+y)² - cos(xy) + xy sin(xy)。计算：-1/(1+π)² - cos(π) + 1·π·sin(π) = -1/(1+π)² - (-1) + π·0 = -1/(1+π)² + 1。
公式：cos(π) = -1，sin(π) = 0
提示：注意 cosπ = -1，sinπ = 0，代入后化简。
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