kaoyan3basic 高等数学 第90题

教材习题

📝 题目

### 第90题 90 已知可微函数 $f(u, v)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}=(u+v) \mathrm{e}^{v}$ ，且 $f(0, v)=(v-2) \mathrm{e}^{v}$ ．求 $f(x, x+y)=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$(x+y-2)\mathrm{e}^{x+y}+x\mathrm{e}^{x+y}$ **解析**： 步骤1：令$u=x,v=x+y$，则$f(x,x+y)=f(u,v)$，且$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}=(u+v)\mathrm{e}^v$，$f(0,v)=(v-2)\mathrm{e}^v$。 步骤2：设$g(t)=f(t,v-t)$，则$\displaystyle g'(t)=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot1+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot(-1)=\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}$，由条件$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}=(u+v)\mathrm{e}^v$，两式相加得$\displaystyle 2\frac{\partial f}{\partial u}=(u+v)\mathrm{e}^v+\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}$，不易直接积分。改用特征线法：令$\xi=u,\eta=v-u$，则方程化为$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\xi}=(\xi+\eta+\xi)\mathrm{e}^{\xi+\eta}=(2\xi+\eta)\mathrm{e}^{\xi+\eta}$，积分得$f=\int(2\xi+\eta)\mathrm{e}^{\xi+\eta}d\xi=\mathrm{e}^{\xi+\eta}(2\xi+\eta-2)+\phi(\eta)$，由$f(0,v)=(v-2)\mathrm{e}^v$得$\phi(v)=0$，故$f(u,v)=\mathrm{e}^{u+v}(2u+v-2)$。 步骤3：代入$u=x,v=x+y$得$f(x,x+y)=\mathrm{e}^{2x+y}(2x+x+y-2)=\mathrm{e}^{2x+y}(3x+y-2)$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：变量替换与条件转化
令 u = x, v = x + y，则 f(x, x+y) = f(u, v)。已知条件化为：∂f/∂u + ∂f/∂v = (u+v)e^v，且 f(0, v) = (v-2)e^v。
公式：∂f/∂u + ∂f/∂v = (u+v)e^v
提示：注意变量替换后，偏导数关系保持不变。
步骤 2/3
目标：求解偏微分方程
采用特征线法。令 ξ = u, η = v - u，则 u = ξ, v = ξ + η。原方程化为 ∂f/∂ξ = (2ξ + η)e^{ξ+η}。对 ξ 积分得 f = e^{ξ+η}(2ξ + η - 2) + φ(η)。由初始条件 f(0, v) = (v-2)e^v 得 φ(v) = 0。因此 f(u, v) = e^{u+v}(2u + v - 2)。
公式：f(u, v) = e^{u+v}(2u + v - 2)
提示：特征线法将偏微分方程转化为常微分方程，注意积分常数的确定。
步骤 3/3
目标：回代得到最终表达式
将 u = x, v = x + y 代入 f(u, v) = e^{u+v}(2u + v - 2)，得 f(x, x+y) = e^{2x+y}(2x + x + y - 2) = e^{2x+y}(3x + y - 2)。
公式：f(x, x+y) = e^{2x+y}(3x + y - 2)
提示：注意指数运算的准确性。

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