kaoyan3basic 高等数学 第91题
📝 题目
### 第91题 91 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\mathrm{e}^{xy}(1+xy)+f_{12}+xyf_{22}+f_2$ **解析**： 步骤1：$z=\mathrm{e}^{xy}+f(x+y,xy)$，令$u=x+y,v=xy$，则$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y\mathrm{e}^{xy}+f_u\cdot1+f_v\cdot y$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y\mathrm{e}^{xy}+f_u+yf_v)=\mathrm{e}^{xy}+xy\mathrm{e}^{xy}+f_{uu}\cdot1+f_{uv}\cdot x+f_v+y(f_{vu}\cdot1+f_{vv}\cdot x)$，整理得$\mathrm{e}^{xy}(1+xy)+f_{uu}+(x+y)f_{uv}+xyf_{vv}+f_v$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算一阶偏导数 ∂z/∂x
令 u = x + y, v = xy，则 z = e^{xy} + f(u, v)。对 x 求偏导：∂z/∂x = y e^{xy} + f_u * 1 + f_v * y。
公式：∂z/∂x = y e^{xy} + f_u + y f_v
提示：注意 f 是复合函数，使用链式法则。
步骤 2/3
目标：计算混合偏导数 ∂²z/∂x∂y
对 ∂z/∂x 关于 y 求偏导：∂²z/∂x∂y = ∂/∂y (y e^{xy} + f_u + y f_v) = e^{xy} + x y e^{xy} + (f_{uu} * 1 + f_{uv} * x) + f_v + y (f_{vu} * 1 + f_{vv} * x)。
公式：∂²z/∂x∂y = e^{xy}(1+xy) + f_{uu} + x f_{uv} + f_v + y f_{vu} + x y f_{vv}
提示：由于 f 有二阶连续偏导，f_{uv} = f_{vu}，合并同类项。
步骤 3/3
目标：整理结果
合并项：e^{xy}(1+xy) + f_{uu} + (x+y) f_{uv} + x y f_{vv} + f_v。
公式：∂²z/∂x∂y = e^{xy}(1+xy) + f_{uu} + (x+y) f_{uv} + x y f_{vv} + f_v
提示：注意 f_{uu} 和 f_v 是 f 对 u 和 v 的偏导，在点 (x+y, xy) 处取值。
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