kaoyan3basic 高等数学 第92题
📝 题目
### 第92题 92 已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，且 $f(1,2)=1, f_{x}^{\prime}(1,2)=2$ ， $f_{y}^{\prime}(1,2)=3$ ，设函数 $\varphi(x)=f(x, 2 f(x, 2 x))$ ，则 $\varphi^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ． ↓ 细罚笔记
💡 答案解析
**答案**：$47$ **解析**： 步骤1：$\varphi(x)=f(x,2f(x,2x))$，令$u=x$，$v=2f(x,2x)$，则$\varphi'(x)=f_u'(u,v)\cdot1+f_v'(u,v)\cdot2f_x'(x,2x)$，其中$f_x'(x,2x)=f_u'(x,2x)\cdot1+f_v'(x,2x)\cdot2$。 步骤2：当$x=1$时，$f(1,2)=1$，$v=2f(1,2)=2$，$f_u'(1,2)=2$，$f_v'(1,2)=3$，$f_x'(1,2)=f_u'(1,2)+2f_v'(1,2)=2+6=8$。 步骤3：代入得$\varphi'(1)=f_u'(1,2)+f_v'(1,2)\cdot2\cdot8=2+3\cdot16=2+48=50$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确复合函数结构
设 φ(x)=f(x, 2f(x,2x))，令 u=x，v=2f(x,2x)，则 φ(x)=f(u,v)。
提示：注意内层函数 f(x,2x) 也是复合函数。
步骤 2/5
目标：求 φ'(x) 的表达式
由链式法则，φ'(x)=f_u'(u,v)·1 + f_v'(u,v)·2·f_x'(x,2x)，其中 f_x'(x,2x) 是 f 对第一个变量求偏导再代入 (x,2x)。
公式：φ'(x)=f_u'(u,v) + 2f_v'(u,v)·f_x'(x,2x)
提示：注意 f_u' 和 f_v' 是在点 (u,v) 处取值。
步骤 3/5
目标：求 f_x'(x,2x) 的表达式
令 w=x，z=2x，则 f(x,2x)=f(w,z)，对 x 求导：f_x'(x,2x)=f_w'(w,z)·1 + f_z'(w,z)·2 = f_u'(x,2x) + 2f_v'(x,2x)。
公式：f_x'(x,2x)=f_u'(x,2x) + 2f_v'(x,2x)
提示：这里 f_u' 和 f_v' 是在点 (x,2x) 处取值。
步骤 4/5
目标：代入 x=1 计算各偏导数值
已知 f(1,2)=1，f_u'(1,2)=2，f_v'(1,2)=3。当 x=1 时，2x=2，所以 f(x,2x)=f(1,2)=1，从而 v=2f(1,2)=2，u=1。因此 f_u'(u,v)=f_u'(1,2)=2，f_v'(u,v)=f_v'(1,2)=3。另外，f_x'(1,2)=f_u'(1,2)+2f_v'(1,2)=2+2×3=8。
提示：注意区分不同点的偏导数值。
步骤 5/5
目标：计算 φ'(1)
代入 φ'(1)=f_u'(1,2) + 2f_v'(1,2)·f_x'(1,2)=2 + 2×3×8=2+48=50。
提示：最终结果为 50。
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