kaoyan3basic 高等数学 第93题
📝 题目
### 第93题 93 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． 94设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x^2+y^2$ **解析**： 设$u=x^2+y^2$，$v=xy$，则 $\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}=f_u\cdot 2x+f_v\cdot y$， $\displaystyle \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=2f_u+4x^2f_{uu}+4xyf_{uv}+y^2f_{vv}$。 同理， $\displaystyle \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=2f_u+4y^2f_{uu}+4xyf_{uv}+x^2f_{vv}$。 相减得 $\displaystyle \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=4(x^2-y^2)f_{uu}+(y^2-x^2)f_{vv}=(x^2-y^2)(4f_{uu}-f_{vv})$。 由已知$4f_{uu}-f_{vv}=1$，故原式$=x^2-y^2$。
**难度**：★★★☆☆