kaoyan3basic 高等数学 第612题
📝 题目
### 第612题 612 把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle S(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$，$x\in(-\infty,+\infty)$ **解析**： 步骤1：注意到$(2n)!!=2^n n!$，故级数为$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{2^n n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\frac{x^2}{2})^n}{n!}=e^{-\frac{x^2}{2}}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分解分母为因式乘积
将分母因式分解：x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)。
提示：注意二次三项式的因式分解方法。
步骤 2/5
目标：将有理函数分解为部分分式
设 1/((x-3)(x+1)) = A/(x-3) + B/(x+1)，解得 A=1/4，B=-1/4。所以 f(x)=1/4 * (1/(x-3) - 1/(x+1))。
提示：通过通分比较系数或代入特殊值求解A、B。
步骤 3/5
目标：将每个部分分式展开为幂级数
将 1/(x-3) 和 1/(x+1) 分别化为 -1/3 * 1/(1 - x/3) 和 1/(1+x) 的形式，然后利用几何级数展开：1/(1 - u) = ∑_{n=0}^∞ u^n，|u|<1。
公式：1/(1-u) = ∑_{n=0}^∞ u^n
提示：注意收敛域：|x/3|<1 和 |x|<1，综合取 |x|<1。
步骤 4/5
目标：写出展开式并合并
1/(x-3) = -1/3 * ∑_{n=0}^∞ (x/3)^n = -∑_{n=0}^∞ x^n / 3^{n+1}；1/(x+1) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^n。所以 f(x)=1/4 * ( -∑_{n=0}^∞ x^n/3^{n+1} - ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^n ) = ∑_{n=0}^∞ [ -1/(4*3^{n+1}) - (-1)^n/4 ] x^n。
提示：注意符号：1/(x-3) 展开时前面有负号。
步骤 5/5
目标：化简系数
合并系数：f(x)=∑_{n=0}^∞ [ -1/(4*3^{n+1}) - (-1)^n/4 ] x^n = ∑_{n=0}^∞ [ -1/(4*3^{n+1}) + (-1)^{n+1}/4 ] x^n。
提示：最终结果可以写成 ∑_{n=0}^∞ a_n x^n 的形式。
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