kaoyan3basic 高等数学 第613题
📝 题目
### 第613题 $613 f(x)=\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$S(x)=\sinh x$，$x\in(-\infty,+\infty)$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sinh x$（双曲正弦）。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将函数分解为两个对数之和
首先，对二次三项式因式分解：2 + x - 3x^2 = (1+x)(2-3x)。因此，f(x) = ln(1+x) + ln(2-3x)。
公式：ln(ab) = ln a + ln b
提示：注意定义域，确保真数大于0。
步骤 2/3
目标：分别展开ln(1+x)和ln(2-3x)为泰勒级数
ln(1+x)的泰勒展开为：ln(1+x) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} x^n / n，|x|<1。
ln(2-3x) = ln2 + ln(1 - (3x/2))，其中ln(1 - u) = -∑_{n=1}^∞ u^n / n，|u|<1。所以ln(2-3x) = ln2 - ∑_{n=1}^∞ (3x/2)^n / n = ln2 - ∑_{n=1}^∞ (3^n x^n) / (n 2^n)。
公式：ln(1+u) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} u^n / n，ln(1-u) = -∑_{n=1}^∞ u^n / n
提示：注意第二个展开需要先提取ln2，再对ln(1-3x/2)展开。
步骤 3/3
目标：合并两个级数得到f(x)的泰勒展开
f(x) = ln2 + ∑_{n=1}^∞ [(-1)^{n-1}/n - 3^n/(n 2^n)] x^n，收敛域为|x|<1且|3x/2|<1，即|x|<2/3，所以收敛区间为|x|<2/3。
公式：f(x) = ln2 + ∑_{n=1}^∞ a_n x^n，其中a_n = [(-1)^{n-1} - (3/2)^n]/n
提示：合并时注意n从1开始，常数项为ln2。
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