kaoyan3basic 高等数学 第614题

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📝 题目

### 第614题 614 设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^n}+(-1)^n\right]x^n$，$|x|<1$ **解析**： 步骤1：因式分解$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-3)(x+1)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+1}\right)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{1}{x-3}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{3}}=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{3}\right)^n$，$|x|<3$。 步骤3：$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$，$|x|<1$。 步骤4：故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\left[-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{3^n}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\right]=-\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3^{n+1}}+(-1)^n\right)x^n$，收敛域为$|x|<1$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：化简f(x)表达式
将f(x)写为x arctan x - (1/2)ln(1+x^2)，因为ln√(1+x^2) = (1/2)ln(1+x^2)。
公式：ln√(1+x^2) = (1/2)ln(1+x^2)
提示：注意对数性质
步骤 2/7
目标：展开arctan x为幂级数
利用已知展开式：arctan x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)，|x|<1。
公式：arctan x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)
提示：记住常见函数的幂级数展开
步骤 3/7
目标：展开ln(1+x^2)为幂级数
利用已知展开式：ln(1+u) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} u^n/n，|u|<1。令u=x^2，得ln(1+x^2) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} x^{2n}/n，|x|<1。
公式：ln(1+u) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} u^n/n
提示：注意n从1开始
步骤 4/7
目标：代入f(x)并合并级数
f(x) = x * ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+1}/(2n+1) - (1/2) * ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} x^{2n}/n = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n+2}/(2n+1) - (1/2)∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} x^{2n}/n。
提示：注意x乘入级数后指数变化
步骤 5/7
目标：统一求和指标
将第一个级数中n从0开始，令k=n+1，则第一个级数变为∑_{k=1}^∞ (-1)^{k-1} x^{2k}/(2k-1)。第二个级数中n从1开始，令k=n，则第二个级数为(1/2)∑_{k=1}^∞ (-1)^{k} x^{2k}/k（注意(-1)^{k-1} = -(-1)^k）。因此f(x)=∑_{k=1}^∞ (-1)^{k-1} x^{2k}/(2k-1) + (1/2)∑_{k=1}^∞ (-1)^{k} x^{2k}/k。
提示：注意符号变化
步骤 6/7
目标：合并为单一求和
f(x)=∑_{k=1}^∞ [(-1)^{k-1}/(2k-1) + (1/2)(-1)^k/k] x^{2k} = ∑_{k=1}^∞ (-1)^{k-1} [1/(2k-1) - 1/(2k)] x^{2k}，因为(1/2)(-1)^k/k = (-1)^{k-1} * (-1)/(2k) = -(-1)^{k-1}/(2k)。
提示：提取公因式(-1)^{k-1}
步骤 7/7
目标：化简系数
1/(2k-1) - 1/(2k) = (2k - (2k-1))/(2k(2k-1)) = 1/(2k(2k-1))。所以f(x)=∑_{k=1}^∞ (-1)^{k-1} x^{2k}/(2k(2k-1))。
提示：通分化简

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