kaoyan3basic 高等数学 第615题
📝 题目
### 第615题 615 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{2} 2^{n}} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n-3^n}{n}x^n$，$\displaystyle |x|<\frac{1}{3}$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\ln(2+x-3x^2)=\ln[(1+x)(2-3x)]=\ln(1+x)+\ln(2-3x)$。 步骤2：$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$，$|x|<1$。 步骤3：$\displaystyle \ln(2-3x)=\ln2+\ln\left(1-\frac{3x}{2}\right)=\ln2-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3x/2)^n}{n}=\ln2-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n2^n}x^n$，$\displaystyle |x|<\frac{2}{3}$。 步骤4：故$\displaystyle f(x)=\ln2+\sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n-1}\frac{1}{n}-\frac{3^n}{n2^n}\right]x^n$，收敛域为$\displaystyle |x|<\frac{1}{3}$（取较小者）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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