kaoyan3basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 第1题 1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(3-n)^{3}}{(n+1)^{2}-(n+1)^{3}}=$ （A）$\infty$ ． （B） 0 ． （C）-1 ． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(3-n)^3}{(n+1)^2-(n+1)^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^3+9n^2-27n+27}{-n^3-2n^2-n}$。步骤2：分子分母同除以$n^3$，得$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{-1+\frac{9}{n}-\frac{27}{n^2}+\frac{27}{n^3}}{-1-\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}=-1$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：展开分子和分母的多项式
分子 (3-n)^3 = -n^3 + 9n^2 - 27n + 27；分母 (n+1)^2 - (n+1)^3 = (n^2+2n+1) - (n^3+3n^2+3n+1) = -n^3 - 2n^2 - n。
公式：(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
提示：注意符号，展开时仔细计算。
步骤 2/3
目标：分子分母同除以 n^3
分子分母同时除以 n^3，得到 lim_{n→∞} (-1 + 9/n - 27/n^2 + 27/n^3) / (-1 - 2/n - 1/n^2)。
公式：lim_{n→∞} 1/n^k = 0 (k>0)
提示：当 n→∞ 时，1/n 的幂次项趋于0。
步骤 3/3
目标：计算极限
当 n→∞ 时，分子趋于 -1，分母趋于 -1，因此极限值为 (-1)/(-1)=1。
提示：注意分子分母的极限均为 -1，比值等于1。
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