kaoyan3basic 高等数学 第108题
📝 题目
### 第108题 108 将直角坐标下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 $$ I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x= $$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：极小，$(1,1)$，$6$ **解析**： 方程$x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z-10=0$，配方得$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=16$，$z>0$。 $z=2+\sqrt{16-(x-1)^2-(y-1)^2}$，当$(x-1)^2+(y-1)^2$最小时$z$最大，即$x=1,y=1$时$z$最大，$z=2+4=6$。 故为极大值点$(1,1)$，极大值$6$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将积分区域分解为两部分，并转换为极坐标
首先分析积分区域。第一个积分：y从0到√2R/2，x从0到y，对应区域为三角形，边界为x=y和y=√2R/2。第二个积分：y从√2R/2到R，x从0到√(R^2-y^2)，对应区域为四分之一圆的一部分。整体区域是半径为R的四分之一圆（第一象限）中，被直线x=y分割成两部分。因此，整个区域是半径为R的四分之一圆。在极坐标下，x=r cosθ, y=r sinθ，区域为0≤r≤R，0≤θ≤π/2。被积函数e^{-x^2-y^2}=e^{-r^2}。
公式：x=r cosθ, y=r sinθ, dx dy = r dr dθ
提示：注意积分限的转换：r从0到R，θ从0到π/2。
步骤 2/2
目标：写出极坐标下的累次积分并计算
极坐标下积分：I = ∫_{θ=0}^{π/2} ∫_{r=0}^{R} e^{-r^2} r dr dθ。先对r积分：∫_0^R e^{-r^2} r dr = (1/2)(1-e^{-R^2})。再对θ积分：∫_0^{π/2} dθ = π/2。所以I = (π/4)(1-e^{-R^2})。
公式：∫_0^R e^{-r^2} r dr = (1/2)(1-e^{-R^2})
提示：注意r dr的积分可直接用凑微分法。
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