kaoyan3basic 高等数学 第106题
📝 题目
### 第106题 106 设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 107交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ． 纠铺笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{e}$ **解析**： $f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y$，定义域$y>0$。 求驻点：$f_x=2x(2+y^2)=0$得$x=0$；$f_y=2x^2y+\ln y+1=0$，代入$x=0$得$\ln y+1=0$，$y=e^{-1}$。 二阶偏导：$f_{xx}=2(2+y^2)$，$f_{xy}=4xy$，$\displaystyle f_{yy}=2x^2+\frac{1}{y}$。 在$(0,e^{-1})$处，$A=f_{xx}=2(2+e^{-2})>0$，$B=0$，$C=e>0$，$AC-B^2>0$，故为极小值点。 极小值$f(0,e^{-1})=0+e^{-1}\ln e^{-1}=-e^{-1}$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域并画出草图
第一个积分：y从0到a，x从0到√(ay)，即x=√(ay) => y=x²/a，x≥0。第二个积分：y从a到2a，x从0到2a-y，即x=2a-y => y=2a-x，x≥0。积分区域由曲线y=x²/a (0≤x≤a)和直线y=2a-x (a≤x≤2a)以及x轴围成。
提示：注意两个积分区域在y=a处相接，x的范围不同。
步骤 2/3
目标：将积分区域表示为x型区域
观察区域：x从0到a时，y从x²/a到2a-x？但注意当x从0到a时，曲线y=x²/a和直线y=2a-x有交点？解x²/a = 2a-x => x²+ax-2a²=0 => (x+2a)(x-a)=0，得x=a（正根）。所以当0≤x≤a时，下边界为y=x²/a，上边界为y=2a-x？但注意第二个积分中y从a到2a，x从0到2a-y，当xa时，下边界是？实际上，x从a到2a时，下边界是y=0？重新分析：区域由三条边界围成：左边界x=0，下边界y=0（从x=0到x=a？但注意曲线y=x²/a在x=0时y=0，直线y=2a-x在x=2a时y=0。所以整个区域的下边界是y=0（从x=0到x=2a），但中间有部分？实际上，区域分为两部分：第一部分（第一个积分）是y从0到a，x从0到√(ay)，即曲线下方；第二部分是y从a到2a，x从0到2a-y，即直线左下方。合并后，区域在x从0到a时，y从0到曲线y=x²/a？不对，因为第一个积分中y从0到a，x从0到√(ay)，即对于固定的y，x从0到√(ay)；第二个积分中y从a到2a，x从0到2a-y。所以整个区域是：对于每个y，x从0到某个边界。交换次序后，对于每个x，y从某个下边界到上边界。从图形看，x从0到a时，y从x²/a到2a-x？但注意当x较小时，下边界y=x²/a，上边界y=2a-x，但需检查是否覆盖所有y？实际上，当x=0时，下边界y=0，上边界y=2a；当x=a时，下边界y=a，上边界y=a；当x>a时，下边界y=0，上边界y=2a-x。所以正确的x型区域：x从0到a时，y从x²/a到2a-x；x从a到2a时，y从0到2a-x。但注意当x从0到a时，下边界y=x²/a，上边界y=2a-x，但x²/a可能大于2a-x？在x=0时，0<2a；在x=a时，a=a；中间？解x²/a = 2a-x得x=a，所以对于0≤x
提示：注意x从0到a时，y的下边界是曲线，上边界是直线；x从a到2a时，y的下边界是0，上边界是直线。
步骤 3/3
目标：写出交换次序后的积分表达式
交换次序后为：∫_{0}^{a} dx ∫_{x²/a}^{2a-x} f(x,y) dy + ∫_{a}^{2a} dx ∫_{0}^{2a-x} f(x,y) dy。
提示：注意积分限的准确性。
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