kaoyan3basic 高等数学 第137题
📝 题目
### 第137题 $\displaystyle 137 \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$ （A） 3 ． （B） 2 ． （C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：放缩：$\displaystyle \frac{k}{n^2+n+n} \leq \frac{k}{n^2+n+k} \leq \frac{k}{n^2+n+1}$。 步骤2：左边和$\displaystyle =\frac{1}{n^2+2n}\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2(n^2+2n)} \to \frac{1}{2}$。 步骤3：右边和$\displaystyle =\frac{1}{n^2+n+1}\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)} \to \frac{1}{2}$。 步骤4：由夹逼准则，极限为$\displaystyle \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：放缩通项，构造夹逼准则
由于分母 n^2+n+k 介于 n^2+n+1 与 n^2+n+n 之间，因此有不等式：\frac{k}{n^2+n+n} ≤ \frac{k}{n^2+n+k} ≤ \frac{k}{n^2+n+1}。
公式：\frac{k}{n^2+2n} ≤ \frac{k}{n^2+n+k} ≤ \frac{k}{n^2+n+1}
提示：注意分母中k的变化范围，选择最紧的放缩。
步骤 2/4
目标：计算左边和式的极限
左边和式：\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+2n} = \frac{1}{n^2+2n} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{n^2+2n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2(n^2+2n)}。当 n→∞ 时，极限为 \frac{1}{2}。
公式：\lim_{n→∞} \frac{n(n+1)}{2(n^2+2n)} = \frac{1}{2}
提示：分子分母同除以 n^2 后求极限。
步骤 3/4
目标：计算右边和式的极限
右边和式：\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n+1} = \frac{1}{n^2+n+1} \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{n^2+n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)}。当 n→∞ 时，极限也为 \frac{1}{2}。
公式：\lim_{n→∞} \frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)} = \frac{1}{2}
提示：与左边极限相同。
步骤 4/4
目标：应用夹逼准则得出原极限
由于原和式介于左边和式与右边和式之间，且两边极限均为 \frac{1}{2}，由夹逼准则得原极限为 \frac{1}{2}。
提示：夹逼准则要求两边极限相等。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。