kaoyan3basic 高等数学 第136题
📝 题目
### 第136题 136
下列各题计算过程中正确无误的是 （A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ． （B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在． （D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：选项A错误，洛必达法则仅适用于函数极限，数列极限不能直接求导。 步骤2：选项B正确，$\displaystyle \frac{0}{0}$型，连续两次洛必达后极限为0。 步骤3：选项C错误，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}$极限为0，不能用洛必达（导数极限不存在）。 步骤4：选项D错误，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$不存在，但原极限为$\infty$，计算过程有误。 **难度**：★★☆☆☆