kaoyan3basic 高等数学 第138题
📝 题目
### 第138题 138 当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是 （A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ． （B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ． （C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ． （D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：A：$(1+x)^{x^2}-1 = e^{x^2\ln(1+x)}-1 \sim x^3$（$x\to0$）。 步骤2：B：$e^{x^4-2x}-1 \sim -2x$（一阶）。 步骤3：C：$\displaystyle \int_0^{x^2}\sin t^2 dt \sim \int_0^{x^2} t^2 dt = \frac{x^6}{3}$（六阶）。 步骤4：D：$\displaystyle \sqrt{1+2x} = 1+x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$，$\sqrt[3]{1+3x} = 1+x-x^2+O(x^3)$，差为$\displaystyle \frac{x^2}{2}+O(x^3)$（二阶）。 步骤5：比较阶数：A三阶，B一阶，C六阶，D二阶，最高阶为C。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A的无穷小阶数
将(1+x)^{x^2}-1化为e^{x^2 ln(1+x)}-1，利用等价无穷小e^u-1~u，得x^2 ln(1+x)~x^2 * x = x^3，故A为三阶无穷小。
公式：e^u-1 ~ u (u→0); ln(1+x) ~ x (x→0)
提示：注意指数型函数先化为e指数形式。
步骤 2/5
目标：分析选项B的无穷小阶数
e^{x^4-2x}-1 ~ x^4-2x，当x→0时，主要项为-2x，故为一阶无穷小。
公式：e^u-1 ~ u (u→0)
提示：取最低阶项确定阶数。
步骤 3/5
目标：分析选项C的无穷小阶数
当x→0时，sin t^2 ~ t^2，故∫_0^{x^2} sin t^2 dt ~ ∫_0^{x^2} t^2 dt = (x^2)^3/3 = x^6/3，为六阶无穷小。
公式：sin u ~ u (u→0); ∫_0^{x^2} t^2 dt = x^6/3
提示：积分上限为x^2，注意积分后阶数。
步骤 4/5
目标：分析选项D的无穷小阶数
将根式展开：√(1+2x)=1+x - x^2/2 + O(x^3)，∛(1+3x)=1+x - x^2 + O(x^3)，相减得x^2/2 + O(x^3)，故为二阶无穷小。
公式：(1+u)^α = 1+αu+α(α-1)/2 u^2+O(u^3)
提示：注意展开到二阶。
步骤 5/5
目标：比较各选项阶数
A三阶，B一阶，C六阶，D二阶，最高阶为C。
提示：阶数越高，趋于0越快。
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