kaoyan3basic 高等数学 第139题
📝 题目
### 第139题 139 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题 （1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。 （2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小． （3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小． （4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小． 中，正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：分析命题(1)：由无穷小阶的定义，$f(x) \sim A(x-a)^n$，$g(x) \sim B(x-a)^m$，则$f(x)g(x) \sim AB(x-a)^{n+m}$，故(1)正确。 步骤2：分析命题(2)：若$n>m$，则$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \sim \frac{A}{B}(x-a)^{n-m}$，故(2)正确。 步骤3：分析命题(3)：若$n \leqslant m$，当$n=m$时，$f(x)+g(x)$可能为更高阶无穷小，不一定为$n$阶，故(3)错误。 步骤4：分析命题(4)：由积分性质，$\displaystyle \int_a^x f(t)dt \sim \frac{A}{n+1}(x-a)^{n+1}$，故(4)正确。 步骤5：正确命题个数为3。 **难度**：★★☆☆☆