kaoyan3basic 高等数学 第140题
📝 题目
### 第140题 140 设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为 （A）一阶． （B）二阶． （C）三阶． （D）四阶．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：当$x \to 0$时，$t\mathrm{e}^{\sin t} \sim t(1+t) \sim t$，故$\displaystyle f(x)=\int_0^x t\mathrm{e}^{\sin t}dt \sim \int_0^x t dt = \frac{1}{2}x^2$。 步骤2：因此$f(x)$是$x$的二阶无穷小。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定被积函数在x→0时的等价无穷小
当x→0时，t→0，因此e^(sin t) ~ 1 + sin t ~ 1 + t，所以t e^(sin t) ~ t(1+t) ~ t。
公式：e^u ~ 1+u (u→0); sin t ~ t (t→0)
提示：注意等价无穷小替换时，要确保替换后的表达式在积分区间内一致有效。
步骤 2/3
目标：利用等价无穷小替换被积函数，简化积分
f(x) = ∫_0^x t e^(sin t) dt ~ ∫_0^x t dt = (1/2)x^2。
公式：∫_0^x t dt = x^2/2
提示：等价无穷小替换在积分中成立的条件是替换后的函数与原函数之差是高阶无穷小。
步骤 3/3
目标：判断f(x)的阶数
f(x) ~ (1/2)x^2，因此f(x)是x的二阶无穷小。
提示：无穷小的阶数由最低次幂决定。
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