kaoyan3basic 高等数学 第141题
📝 题目
### 第141题 141 以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是 （A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ． （B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ． （C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ． （D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ． 设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：分析选项(A)：$g(x)$在$x=0$处连续，$g(0)=1$，$f(u)$在$u=1$处连续，故$f(g(x))$在$x=0$处连续。 步骤2：分析选项(B)：$g(x)=2\cos x-1$连续，$g(0)=1$，$f(u)$在$u=1$处间断（左极限$0$，右极限$2$），故$f(g(x))$在$x=0$处为第一类间断点。 步骤3：分析选项(C)：$g(x)$在$x=0$处连续，$g(0)=0$，$f(u)$在$u=0$处连续（$\lim_{u\to0^-}f(u)=0$，$f(0)=0$），故$f(g(x))$连续。 步骤4：分析选项(D)：$g(x)$在$x=0$处无定义（$x<0$时$g(x)=1/x$，$x\to0^-$时$g(x)\to -\infty$；$x=0$时$g(0)=0$；$x>0$时$g(x)=\sin(1/x)$振荡），故$f(g(x))$在$x=0$处为第二类间断点。 **难度**：★★★☆☆