kaoyan3basic 高等数学 第143题
📝 题目
### 第143题 143 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是 （A）$f(x) \sin x$ ． （B）$f(x)+\sin x$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$|f(x)|$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：分析选项(A)：$f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$在$x=0$间断，但$f(x)\sin x$在$x=0$连续，故(A)不一定。 步骤2：分析选项(B)：$f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$，$f(x)+\sin x$在$x=0$连续，故(B)不一定。 步骤3：分析选项(C)：$f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq0 \\ -1, & x=0 \end{cases}$在$x=0$间断，但$f^2(x)=1$连续，故(C)不一定。 步骤4：分析选项(D)：若$f(x)$在$x_0$间断，则$|f(x)|$在$x_0$必间断（反证法：若$|f(x)|$连续，则$f(x)$不一定连续，但此处需验证原命题：取$f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq0 \\ -1, & x=0 \end{cases}$，$|f(x)|=1$连续，故(D)不一定。但题目要求“必定间断”，需严格证明：设$f(x)$在$x_0$间断，若$|f(x)|$在$x_0$连续，则$\lim_{x\to x_0}|f(x)|=|f(x_0)|$，但$f(x)$可能振荡，例如$f(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb{Q} \\ -1, & x\notin\mathbb{Q} \end{cases}$，$|f(x)|=1$连续，故(D)不一定。实际上，此题无正确选项，但根据常见结论，$f(x)$在$x_0$间断时，$f(x)+\sin x$可能连续，故排除法选B？需重新审视：原题选项为(A)$f(x)\sin x$，(B)$f(x)+\sin x$，(C)$f^2(x)$，(D)$|f(x)|$。取反例：$f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$，则$f(x)\sin x$在$x=0$连续；$f(x)+\sin x$在$x=0$连续；$f^2(x)$在$x=0$连续；$|f(x)|$在$x=0$连续。故所有选项均可能连续，但题目要求“必定间断”，故无正确选项。但根据常见题型，正确答案为B（$f(x)+\sin x$在$x_0$间断，因为若连续则$f(x)$连续，矛盾）。严格证明：若$f(x)+\sin x$在$x_0$连续，则$f(x)=[f(x)+\sin x]-\sin x$连续，矛盾。故(B)正确。 **难度**：★★★☆☆