kaoyan3basic 高等数学 第144题
📝 题目
### 第144题 144 ＂$f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续＂是 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续的 （A）充分条件，但不是必要条件． （B）必要条件，但不是充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不是充分，也不是必要条件．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：若$f(x)$在$x_0$连续，则$|f(x)|$在$x_0$连续（复合函数连续性），故充分性成立。 步骤2：反之，$|f(x)|$在$x_0$连续不能推出$f(x)$连续，例如$f(x)=\begin{cases} 1, & x\geq0 \\ -1, & x<0 \end{cases}$，$|f(x)|=1$连续，但$f(x)$在$x=0$间断，故必要性不成立。 步骤3：因此为充分非必要条件。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断充分性
若f(x)在x0连续，则|f(x)|在x0连续（复合函数连续性），故充分性成立。
提示：利用复合函数连续性定理：若u=f(x)在x0连续，g(u)=|u|在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续。
步骤 2/3
目标：判断必要性
反之，|f(x)|在x0连续不能推出f(x)连续。例如f(x)=1 (x≥0), -1 (x<0)，则|f(x)|=1处处连续，但f(x)在x=0处间断。故必要性不成立。
提示：构造反例：符号函数或分段常值函数，使绝对值后为常数函数。
步骤 3/3
目标：得出结论
因此，"f(x)在x0连续"是"|f(x)|在x0连续"的充分非必要条件。
提示：选项A正确。
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