kaoyan3basic 高等数学 第145题
📝 题目
### 第145题 145 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充要条件． （D）既非充分又非必要条件． □
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：充分性：存在$x_n\to+\infty$使$f(x_n)\to\infty$，则$f(x)$在$[a,+\infty)$无界（因为有无穷大的子列）。 步骤2：必要性：$f(x)$无界不一定存在趋于无穷大的子列使函数值趋于无穷大，例如$f(x)=x\sin x$在$[0,+\infty)$无界，但不存在$x_n\to+\infty$使$f(x_n)\to\infty$（因为振荡），故必要性不成立。 步骤3：因此为充分非必要条件。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断充分性
假设存在数列 $x_n \in [a, +\infty)$ 满足 $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$ 且 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \infty$。则对于任意 $M > 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$|f(x_n)| > M$。由于 $x_n \to +\infty$，这些 $x_n$ 属于 $[a, +\infty)$，因此 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上无界。所以条件是充分的。
提示：注意无穷大子列的存在直接推出无界。
步骤 2/3
目标：判断必要性
考虑反例：$f(x) = x \sin x$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续且无界（因为取 $x = 2k\pi + \pi/2$ 时 $f(x) = 2k\pi + \pi/2 \to +\infty$）。但不存在数列 $x_n \to +\infty$ 使得 $f(x_n) \to \infty$，因为 $f(x)$ 振荡，任何趋于无穷大的子列中总会有使 $\sin x$ 接近0的点，从而函数值不趋于无穷。因此条件不是必要的。
提示：无界不一定有趋于无穷的子列，因为可能振荡。
步骤 3/3
目标：得出结论
由充分性成立、必要性不成立，可知条件是充分非必要的。
提示：选A。
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