kaoyan3basic 高等数学 第146题
📝 题目
### 第146题 146 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）极限不存在． （B）极限存在，但不连续． （C）连续，但不可导． （D）可导． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：求左极限：$x\to0^-$时，$f(x)=g(x)\arcsin^2 x \sim g(x)x^2$，由于$g(x)$有界，$\lim_{x\to0^-}f(x)=0$。 步骤2：求右极限：$x\to0^+$时，$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x^2}{x^3} \sim \frac{(x^2)^2/2}{x^3}=\frac{x}{2}$，故$\lim_{x\to0^+}f(x)=0$。 步骤3：$f(0)=g(0)\cdot0=0$，故$f(x)$在$x=0$连续。 步骤4：求左导数：$\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{g(x)\arcsin^2 x-0}{x}=\lim_{x\to0^-}g(x)\frac{x^2}{x}=0$（因为$\arcsin x\sim x$，$g(x)$有界）。 步骤5：求右导数：$\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{(1-\cos x^2)/x^3-0}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos x^2}{x^4}=\lim_{x\to0^+}\frac{(x^2)^2/2}{x^4}=\frac{1}{2}$。 步骤6：左右导数不相等，故不可导。但选项为可导？重新计算：右导数应为$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos x^2}{x^4}=\frac{1}{2}$，左导数为0，故不可导。但选项D为可导，需检查：实际上$f(0)=g(0)\cdot0=0$，但$g(x)$有界，左导数$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{g(x)\arcsin^2 x}{x}=\lim_{x\to0^-}g(x)\frac{x^2}{x}=0$，右导数$\displaystyle \frac{1}{2}$，故不可导。但题目选项为（A）极限不存在，（B）极限存在但不连续，（C）连续但不可导，（D）可导。根据计算，连续但不可导，选C。 **难度**：★★★☆☆