kaoyan3basic 高等数学 第182题
📝 题目
### 第182题 182 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为 （1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ． （2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ． （3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ． （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：(1)正确，由连续函数性质。 步骤2：(2)正确，非负连续函数积分为0则函数恒为0。 步骤3：(3)错误，$f(x)$可能为负。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断结论(1)的正确性
若f(x)在[a,b]上连续，且对任意子区间[α,β]⊂[a,b]有∫_α^β f(x)dx=0，则f(x)在[a,b]上恒为0。反证法：假设存在x0使得f(x0)≠0，由连续性存在邻域使f(x)同号且积分非零，矛盾。故(1)正确。
提示：利用连续函数的局部保号性。
步骤 2/3
目标：判断结论(2)的正确性
若f(x)≥0在[a,b]上连续，且∫_a^b f(x)dx=0，则f(x)≡0。反证：若存在x0使f(x0)>0，由连续性存在邻域使f(x)>0，积分>0，矛盾。故(2)正确。
提示：非负连续函数积分为零则函数恒为零。
步骤 3/3
目标：判断结论(3)的正确性
结论(3)说对于任意子区间[α,β]⊂[a,b]，有∫_a^b f(x)dx ≥ ∫_a^β f(x)dx。这等价于∫_β^b f(x)dx ≥ 0。但f(x)可能为负，例如f(x)=-1，则∫_β^b (-1)dx = -(b-β) < 0，不等式不成立。故(3)错误。
提示：注意积分不等式依赖于被积函数的符号。
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