kaoyan3basic 高等数学 第41题
📝 题目
### 第41题 41 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$。 □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{35}{8}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=\ln\frac{1-2x}{1+3x}=\ln(1-2x)-\ln(1+3x)$。 步骤2：$\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{2}{1-2x}-\frac{3}{1+3x}$，$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\frac{4}{(1-2x)^{2}}+\frac{9}{(1+3x)^{2}}$，$\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)=-\frac{16}{(1-2x)^{3}}-\frac{54}{(1+3x)^{3}}$。 步骤3：代入$x=0$，$f^{\prime\prime\prime}(0)=-16-54=-70$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将f(x)表示为两个函数之和
注意到 f(x) = arcsin x / sqrt(1-x^2)，可以写成 f(x) = arcsin x * (1-x^2)^{-1/2}。但更简单的方法是利用导数关系：设 g(x)=arcsin x，则 g'(x)=1/sqrt(1-x^2)，所以 f(x)=g(x)g'(x)。或者直接考虑幂级数展开。
公式：arcsin x = ∑_{n=0}^∞ ( (2n)! / (4^n (n!)^2 (2n+1)) ) x^{2n+1}
提示：利用已知的麦克劳林展开式。
步骤 2/6
目标：写出arcsin x的麦克劳林展开式
arcsin x = x + x^3/6 + 3x^5/40 + 5x^7/112 + ...
公式：arcsin x = ∑_{n=0}^∞ ( (2n)! / (4^n (n!)^2 (2n+1)) ) x^{2n+1}
提示：记住前几项系数。
步骤 3/6
目标：写出1/sqrt(1-x^2)的麦克劳林展开式
1/sqrt(1-x^2) = (1-x^2)^{-1/2} = ∑_{n=0}^∞ ( (2n)! / (4^n (n!)^2) ) x^{2n}
公式：(1-x^2)^{-1/2} = ∑_{n=0}^∞ ( (2n)! / (4^n (n!)^2) ) x^{2n}
提示：这是二项式展开的特例。
步骤 4/6
目标：将两个展开式相乘得到f(x)的展开式
f(x) = (∑_{n=0}^∞ a_n x^{2n+1}) * (∑_{m=0}^∞ b_m x^{2m})，其中 a_n = (2n)!/(4^n (n!)^2 (2n+1))，b_m = (2m)!/(4^m (m!)^2)。乘积中x^k的系数由卷积得到。
公式：f(x) = ∑_{k=0}^∞ c_k x^{2k+1}，其中 c_k = ∑_{i=0}^k a_i b_{k-i}
提示：注意x的指数是奇数。
步骤 5/6
目标：计算f(x)的n阶导数在0处的值
f^{(n)}(0) = n! * [x^n] f(x)，其中[x^n]表示x^n的系数。由于f(x)是奇函数，只有奇数阶导数非零。设n=2k+1，则f^{(2k+1)}(0) = (2k+1)! * c_k。
公式：f^{(n)}(0) = n! * (x^n的系数)
提示：利用泰勒展开的唯一性。
步骤 6/6
目标：代入具体n值（题目未给出，但答案提示n=3时）
题目要求f^{(n)}(0)，但未指定n。从答案看，可能n=3。计算c_0 = a_0 b_0 = (1*1) = 1，c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = 1*(1/2) + (1/6)*1 = 1/2+1/6=2/3，c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 1*(3/8) + (1/6)*(1/2) + (3/40)*1 = 3/8+1/12+3/40 = 45/120+10/120+9/120=64/120=8/15。则f'''(0)=3! * c_1 = 6*(2/3)=4，但答案-70，矛盾。说明题目有误？
提示：检查题目是否抄错。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。