kaoyan3basic 高等数学 第111题
📝 题目
### 第111题 111 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{9}(2\sqrt{2}-1)$ **解析**：交换积分次序，原积分化为$\displaystyle \int_0^1 \frac{y}{\sqrt{1+y^3}} dy \int_0^{\sqrt{y}} x dx = \frac12 \int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1+y^3}} dy$，令$u=1+y^3$，则$du=3y^2 dy$，积分变为$\displaystyle \frac16 \int_1^2 u^{-\frac12} du = \frac16 \cdot 2(\sqrt{2}-1) = \frac13(\sqrt{2}-1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：交换积分次序
原积分区域由 x 从 0 到 1，y 从 x^2 到 1 确定，即 y 从 0 到 1，x 从 0 到 √y。交换次序得 ∫_0^1 dy ∫_0^{√y} (xy)/√(1+y^3) dx。
公式：∫_0^1 dx ∫_{x^2}^1 f(x,y) dy = ∫_0^1 dy ∫_0^{√y} f(x,y) dx
提示：画出积分区域，确定边界曲线 y=x^2 和 y=1。
步骤 2/4
目标：计算内层积分
对 x 积分：∫_0^{√y} x dx = (1/2) y。因此原积分化为 ∫_0^1 (y/√(1+y^3)) * (1/2) y dy = (1/2) ∫_0^1 y^2/√(1+y^3) dy。
公式：∫_0^{√y} x dx = (1/2) y
提示：注意 y 视为常数。
步骤 3/4
目标：换元积分
令 u = 1 + y^3，则 du = 3y^2 dy，dy = du/(3y^2)。当 y=0 时 u=1，y=1 时 u=2。积分变为 (1/2) ∫_1^2 (y^2/√u) * (du/(3y^2)) = (1/6) ∫_1^2 u^{-1/2} du。
公式：u = 1 + y^3, du = 3y^2 dy
提示：注意上下限对应变化。
步骤 4/4
目标：计算定积分
∫_1^2 u^{-1/2} du = 2√u |_1^2 = 2(√2 - 1)。乘以 1/6 得 (1/3)(√2 - 1)。
公式：∫ u^{-1/2} du = 2√u + C
提示：注意计算准确。
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